Répliquer une option à barrière avec des options vanilles
Valoriser une option dépendante de la trajectoire
Le contrat est un put à barrière down-and-in. Si la barrière n’est jamais touchée, l’option expire sans valeur. Si la barrière est touchée à une date d’observation, le détenteur reçoit un put européen ordinaire.
La question pratique est simple. Puis-je valoriser et couvrir ce payoff sans rééquilibrer sans cesse le portefeuille ? J’utilise la réplication statique, soit un portefeuille fixe d’options vanilles calibré sur la barrière à chaque date d’observation.
L’exemple porte sur un put down-and-in à surveillance discrète avec les paramètres suivants :
Spécifications du contrat :
- Prix d’exercice $K = 100$
- Prix actuel de l’action $S_0 = 100$
- Niveau de barrière $B = 80$
- Temps jusqu’à l’échéance $T = 1$ an
- Dates d’observation : 2, 4, 6, 8, 10 et 12 mois après l’origine
Paramètres de marché :
- Volatilité $\sigma = 25\%$
- Taux sans risque $r = 10\%$
- Rendement du dividende $d = 5\%$
Structure du payoff :
- Si $S_t \leq 80$ à une date d’observation quelconque → l’option s’active et devient un put européen de strike $K=100$
- Si $S_t > 80$ à toutes les dates d’observation → l’option expire sans valeur
- Payoff final (si activée) : $\max(100 - S_T, 0)$
L’objectif est de reproduire ce payoff avec des options européennes vanilles et sans couverture dynamique.
Cadre mathématique
La réplication statique remplace l’option à barrière par un portefeuille calibré d’options vanilles. Une contrainte guide toute la construction :
À chaque date d’observation $t_i$, lorsque le prix de l’action atteint la barrière $S = B$, la valeur totale du portefeuille doit être égale à zéro.
Cette condition de valeur nulle représente la barrière. Le portefeuille doit la respecter lorsque l’action se trouve à la barrière à une date d’observation. Entre ces dates, sa valeur peut s’écarter de zéro.
Dans le cadre de Black-Scholes, la valeur d’un put européen est :
$$ P(S, K, T, r, \sigma, q) = K e^{-rT} N(-d_2) - S e^{-qT} N(-d_1) $$où :
$$ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} $$Dans cet exemple, avec $S_0 = 100$, $K = 100$ et $T = 1$ an, le put européen plain vanilla correspondant vaut $7.10.
Construire le portefeuille
Je construis le portefeuille répliquant une correction à la fois. Chaque nouvelle option élimine la valeur résiduelle laissée à la barrière à la date d’observation suivante.
Position 1, le put principal
Je commence par le payoff qui apparaît après le déclenchement de la barrière.
- Action : acheter 1 put européen de strike $K = 100$, échéance dans 12 mois
- Quantité : $Q_1 = 1.0000$
Valeurs lorsque $S = 80$ à chaque point d’observation :
| Date d’observation | Temps restant | Calcul de valeur | Valeur |
|---|---|---|---|
| 2 mois | 10/12 ans | $P(80, 100, 10/12, 0.10, 0.25, 0.05)$ | 19.0685 |
| 4 mois | 8/12 ans | $P(80, 100, 8/12, 0.10, 0.25, 0.05)$ | 18.4746 |
| 6 mois | 6/12 ans | $P(80, 100, 6/12, 0.10, 0.25, 0.05)$ | 18.0982 |
| 8 mois | 4/12 ans | $P(80, 100, 4/12, 0.10, 0.25, 0.05)$ | 17.8188 |
| 10 mois | 2/12 ans | $P(80, 100, 2/12, 0.10, 0.25, 0.05)$ | 17.5850 |
| 12 mois | 0 ans | $\max(100 - 80, 0)$ | 17.3737 |
Je normalise toutes les corrections avec le prix de référence suivant :
$$ P_{\text{ref}} = P(S=80, K=80, T=2/12, r=0.10, \sigma=0.25, q=0.05) = 2.8973 $$Il s’agit de la valeur d’un put at-the-money de strike égal à la barrière avec deux mois avant échéance. Je l’utilise comme constante de normalisation tout au long de la construction.
Position 2, première correction avec 2 mois restants
La première correction ramène la valeur du portefeuille à zéro à $S = 80$ lors de la première date d’observation.
À ce moment-là, la position 1 vaut 19.0685. Pour la compenser :
$$ Q_2 = -\frac{V_1(S=80, T=10/12)}{P_{\text{ref}}} = -\frac{19.0685}{2.8973} = -6.5821 $$- Action : vendre 6.5821 puts de strike $K = 80$, échéance dans 12 mois
- Quantité : $Q_2 = -6.5821$
Valeurs lorsque $S = 80$ à chaque échéance restante :
| Temps restant jusqu’à l’échéance finale | Temps restant pour cette option | Calcul de valeur | Valeur |
|---|---|---|---|
| 2 mois | 2/12 ans | $-6.5821 \times P(80, 80, 2/12)$ | -19.0685 |
| 4 mois | 4/12 ans | $-6.5821 \times P(80, 80, 4/12)$ | -25.4644 |
| 6 mois | 6/12 ans | $-6.5821 \times P(80, 80, 6/12)$ | -29.7407 |
| 8 mois | 8/12 ans | $-6.5821 \times P(80, 80, 8/12)$ | -32.9154 |
| 10 mois | 10/12 ans | $-6.5821 \times P(80, 80, 10/12)$ | -35.3868 |
| 12 mois | 12/12 ans | $-6.5821 \times P(80, 80, 12/12)$ | -37.3609 |
Total du portefeuille à 2 mois restants : $19.0685 - 19.0685 = 0.0000$ ✓
Position 3, deuxième correction avec 4 mois restants
À la date d’observation suivante, j’élimine la nouvelle valeur résiduelle à la barrière.
Au point où il reste 4 mois :
$$ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = 18.4746 - 25.4644 = -6.9898 $$La taille de la correction est :
$$ Q_3 = -\frac{V_{\text{total}}}{P_{\text{ref}}} = -\frac{-6.9898}{2.8973} = 2.4128 $$- Action : acheter 2.4128 puts de strike $K = 80$, échéance dans 10 mois
- Quantité : $Q_3 = 2.4128$
Un détail compte ici. Cette option arrive à échéance lorsque la structure initiale de barrière a encore 2 mois à courir. Aux points où il reste moins de 4 mois avant l’échéance finale, elle a déjà expiré, donc sa valeur est nulle.
Valeurs lorsque $S = 80$ à chaque échéance restante :
| Temps restant jusqu’à l’échéance finale | Temps restant pour cette option | Calcul de valeur | Valeur |
|---|---|---|---|
| 2 mois | N/A (déjà expirée) | 0 | 0.0000 |
| 4 mois | $(4 - (12-10))/12 = 2/12$ | $2.4128 \times P(80, 80, 2/12)$ | 6.9898 |
| 6 mois | $(6 - (12-10))/12 = 4/12$ | $2.4128 \times P(80, 80, 4/12)$ | 9.3343 |
| 8 mois | $(8 - (12-10))/12 = 6/12$ | $2.4128 \times P(80, 80, 6/12)$ | 10.9018 |
| 10 mois | $(10 - (12-10))/12 = 8/12$ | $2.4128 \times P(80, 80, 8/12)$ | 12.0656 |
| 12 mois | $(12 - (12-10))/12 = 10/12$ | $2.4128 \times P(80, 80, 10/12)$ | 12.9715 |
Total du portefeuille à 4 mois restants : $18.4746 - 25.4644 + 6.9898 = 0.0000$ ✓
Position 4, troisième correction avec 6 mois restants
Au point où il reste 6 mois, le portefeuille a encore une petite valeur négative à la barrière :
$$ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 = 18.0982 - 29.7407 + 9.3343 = -2.3082 $$La correction suivante est donc :
$$ Q_4 = -\frac{-2.3082}{2.8973} = 0.7968 $$- Action : acheter 0.7968 put de strike $K = 80$, échéance dans 8 mois
- Quantité : $Q_4 = 0.7968$
Valeurs lorsque $S = 80$ :
| Date d’observation | Temps restant pour cette option | Valeur |
|---|---|---|
| 2 mois | N/A | 0.0000 |
| 4 mois | N/A | 0.0000 |
| 6 mois | $(6 - (12-8))/12 = 2/12$ | 2.3082 |
| 8 mois | $(8 - (12-8))/12 = 4/12$ | 3.0824 |
| 10 mois | $(10 - (12-8))/12 = 6/12$ | 3.6001 |
| 12 mois | Option expirée | 3.9843 |
Total du portefeuille à 6 mois restants : $18.0982 - 29.7407 + 9.3343 + 2.3082 = 0.0000$ ✓
Position 5, quatrième correction avec 8 mois restants
Au point où il reste 8 mois :
$$ V_{\text{total}} = 17.8188 - 32.9154 + 10.9018 + 3.0824 = -1.1124 $$$$ Q_5 = -\frac{-1.1124}{2.8973} = 0.3840 $$- Action : acheter 0.3840 put de strike $K = 80$, échéance dans 6 mois
- Quantité : $Q_5 = 0.3840$
Valeurs lorsque $S = 80$ :
| Date d’observation | Temps restant pour cette option | Valeur |
|---|---|---|
| 2-6 mois | N/A | 0.0000 |
| 8 mois | $(8 - (12-6))/12 = 2/12$ | 1.1124 |
| 10 mois | $(10 - (12-6))/12 = 4/12$ | 1.4855 |
| 12 mois | Option expirée | 1.7349 |
Total du portefeuille à 8 mois restants : $17.8188 - 32.9154 + 10.9018 + 3.0824 + 1.1124 = 0.0000$ ✓
Position 6, cinquième correction avec 10 mois restants
Au point où il reste 10 mois :
$$ V_{\text{total}} = 17.5850 - 35.3868 + 12.0656 + 3.6001 + 1.4855 = -0.6506 $$$$ Q_6 = -\frac{-0.6506}{2.8973} = 0.2246 $$- Action : acheter 0.2246 put de strike $K = 80$, échéance dans 4 mois
- Quantité : $Q_6 = 0.2246$
Valeurs lorsque $S = 80$ :
| Date d’observation | Temps restant pour cette option | Valeur |
|---|---|---|
| 2-8 mois | N/A | 0.0000 |
| 10 mois | $(10 - (12-4))/12 = 2/12$ | 0.6507 |
| 12 mois | Option expirée | 0.8689 |
Total du portefeuille à 10 mois restants : $17.5850 - 35.3868 + 12.0656 + 3.6001 + 1.4855 + 0.6507 = 0.0000$ ✓
Position 7, correction finale avec 12 mois restants
Au temps initial de la construction à rebours, il subsiste encore une petite valeur résiduelle à la barrière :
$$ V_{\text{total}} = 17.3737 - 37.3609 + 12.9715 + 3.9843 + 1.7349 + 0.8689 = -0.4276 $$$$ Q_7 = -\frac{-0.4276}{2.8973} = 0.1476 $$- Action : acheter 0.1476 put de strike $K = 80$, échéance dans 2 mois
- Quantité : $Q_7 = 0.1476$
Valeurs lorsque $S = 80$ :
| Date d’observation | Temps restant pour cette option | Valeur |
|---|---|---|
| 2-10 mois | N/A | 0.0000 |
| 12 mois | $(12 - (12-2))/12 = 2/12$ | 0.4276 |
Total du portefeuille à 12 mois restants : $17.3737 - 37.3609 + 12.9715 + 3.9843 + 1.7349 + 0.8689 + 0.4276 = 0.0000$ ✓
Portefeuille répliquant
Ce tableau rassemble la valeur de chaque position lorsque l’action est à la barrière ($S = 80$) à toutes les dates d’observation. Les colonnes représentent le temps restant jusqu’à l’échéance, et non le temps écoulé.
| Position | Qté | Strike | Échéance | 2m restants | 4m restants | 6m restants | 8m restants | 10m restants | 12m restants |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.0000 | 100 | 12m | 19.0685 | 18.4746 | 18.0982 | 17.8188 | 17.5850 | 17.3737 |
| 2 | -6.5821 | 80 | 12m | -19.0685 | -25.4644 | -29.7407 | -32.9154 | -35.3868 | -37.3609 |
| 3 | 2.4128 | 80 | 10m | 0.0000 | 6.9898 | 9.3343 | 10.9018 | 12.0656 | 12.9715 |
| 4 | 0.7968 | 80 | 8m | 0.0000 | 0.0000 | 2.3082 | 3.0824 | 3.6001 | 3.9843 |
| 5 | 0.3840 | 80 | 6m | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 1.1124 | 1.4855 | 1.7349 |
| 6 | 0.2246 | 80 | 4m | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.6507 | 0.8689 |
| 7 | 0.1476 | 80 | 2m | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.4276 |
| Total | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
Vérifier la valeur à la barrière
La vérification décisive reprend la contrainte de construction. La valeur du portefeuille doit être nulle au niveau de la barrière ($S = 80$) à chaque date d’observation.
Le tableau suivant montre la valeur de chaque position à mesure que le temps s’écoule, toujours en maintenant l’action à la barrière. Le temps est mesuré en années restantes avant l’échéance.
| Temps | Option1 | Option2 | Option3 | Option4 | Option5 | Option6 | Option7 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.00 | 17.374 | -37.361 | 12.971 | 3.984 | 1.735 | 0.869 | 0.428 | 0.000 |
| 0.95 | 17.436 | -36.812 | 12.721 | 3.880 | 1.668 | 0.814 | 0.365 | 0.072 |
| 0.90 | 17.499 | -36.228 | 12.454 | 3.766 | 1.595 | 0.751 | 0.283 | 0.120 |
| 0.85 | 17.563 | -35.604 | 12.166 | 3.643 | 1.514 | 0.678 | 0.147 | 0.108 |
| 0.80 | 17.629 | -34.937 | 11.857 | 3.509 | 1.424 | 0.590 | 0.000 | 0.072 |
| 0.75 | 17.698 | -34.223 | 11.523 | 3.363 | 1.321 | 0.478 | 0.000 | 0.159 |
| 0.70 | 17.769 | -33.458 | 11.161 | 3.201 | 1.203 | 0.312 | 0.000 | 0.188 |
| 0.65 | 17.844 | -32.634 | 10.767 | 3.020 | 1.062 | 0.000 | 0.000 | 0.059 |
| 0.60 | 17.923 | -31.746 | 10.336 | 2.816 | 0.887 | 0.000 | 0.000 | 0.216 |
| 0.55 | 18.007 | -30.785 | 9.861 | 2.583 | 0.645 | 0.000 | 0.000 | 0.311 |
| 0.50 | 18.098 | -29.741 | 9.334 | 2.308 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
| 0.45 | 18.197 | -28.601 | 8.743 | 1.973 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.312 |
| 0.40 | 18.307 | -27.348 | 8.068 | 1.529 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.557 |
| 0.35 | 18.430 | -25.961 | 7.284 | 0.793 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.546 |
| 0.30 | 18.570 | -24.411 | 6.339 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.498 |
| 0.25 | 18.733 | -22.653 | 5.131 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 1.210 |
| 0.20 | 18.923 | -20.624 | 3.348 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 1.647 |
| 0.15 | 19.148 | -18.212 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.935 |
| 0.10 | 19.410 | -15.206 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 4.205 |
| 0.05 | 19.701 | -11.054 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 8.647 |
| 0.00 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
Les valeurs non nulles entre les dates d’observation sont normales :
- Surveillance discrète vs continue : le portefeuille est conçu pour six dates d’observation discrètes, une tous les deux mois. Il n’a besoin d’être exactement nul qu’à ces dates-là.
- Entre les dates d’observation : entre ces dates, le portefeuille peut s’écarter de zéro, ce que montre précisément le tableau.
South Park après l’algèbre
Après les sept corrections, j’avais envie de finir sur quelque chose de moins mathématique :